Métodos de Geometria Descritiva

por

MÉTODOS

Geometria Descritiva 10º e 11º anos

Catarina Sande e Castro

Currículo resumido

Catarina Sande e Castro vive em Cascais desde que nasceu. Frequentou a primária no St. Julian´s School, o secundário nas Escolas Secundárias da Cidadela, Polivalente e S. João do Estoril no Conselho de Cascais e o Lyceé Français Charles Lepierre em Lisboa. Como formação superior frequentou a Universidade Lusíada de Lisboa, onde completou o curso de Arquitetura pré Bolonha (5 anos) e Mestrado em Recuperação e Conservação do Património Construído no Instituto Superior Técnico de Lisboa. Fez um estágio de 3 meses com o Arqtº Markus Moritz, Presidente da Associação dos Arquitetos do Tirol, na Áustria, colaborou em gabinetes de arquitetura em Cascais, nomeadamente com os Arquitetos João Veloso e David Sinclair. Viveu 6 anos em Macau onde exerceu a profissão de arquitetura, como arquiteta responsável pelos projetos de arquitetura de edifícios de escritórios e recuperação de uma cantina da fábrica de produtos farmacêuticos Hovione. De regresso a Portugal dedicou-se exclusivamente ao ensino de geometria descritiva a alunos do 10º e 11º anos em regime de explicações.

Pratica vários desportos como equitação, ténis, vela, patinagem, skate, snowboard, ski alpino, ski aquático, mergulho, natação, marcha e ciclismo.

Viajou por vários países, como Alemanha, Áustria, Bélgica, Espanha, França, Grécia, Holanda, Inglaterra, Itália, Marrocos, EUA, China, Indonésia, Filipinas, Vietname, Tailândia, Coreia, Timor, Singapura, Sri Lanka, Índia, Brasil, S. Tomé e Príncipe.

Objetivos

Os métodos teóricos de Geometria Descritiva têm como objetivo resumir o programa da disciplina ao essencial para que as alunas e alunos se preparem melhor para o exame nacional, memorizando-os mais facilmente.

Assim são apresentados alguns esquemas para resolver cada tipo de exercício, não excluindo o facto de ser necessário aplicar um raciocínio específico para cada um. A leitura dos métodos deve ser acompanhada sempre de exercícios práticos, pois é fundamental aplicar a teoria à prática. É um documento de consulta.

Índice

Currículo resumido 3

Objetivos 4

1º CAPÍTULO 10

DEFINIÇÃO DE DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL, REFERENCIAL, PONTO, RETA E PLANO 10

DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL 10

REFERENCIAL 10

O PONTO 10

TRAÇOS DE UMA RETA 10

TRAÇOS DE UM PLANO 10

DEFINIÇÃO DE PONTO E RETA 11

ALFABETO DA RETA 11

DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE UM PLANO (a partir das alíneas anteriores) 14

DEFINIÇÃO DE UM PLANO PROJETANTE 14

DEFINIÇÃO DE UM PLANO NÃO PROJETANTE 14

ALFABETO DO PLANO 14

2º CAPÍTULO 16

FIGURAS PLANAS I 16

FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS HORIZONTAIS OU FRONTAIS 16

3º CAPÍTULO 18

INTERSEÇÕES 18

INTERSEÇÃO DE PLANOS 18

INTERSEÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS 20

INTERSEÇÃO ENTRE UMA RETA E UM PLANO 20

4º CAPÍTULO 22

SÓLIDOS I 22

SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS HORIZONTAIS, FRONTAIS E DE PERFIL 22

5º CAPÍTULO 23

FIGURAS PLANAS II 23

FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO, VERTICAL OU DE PERFIL 23

6º CAPÍTULO 27

SÓLIDOS II 27

PROJEÇÃO DE SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS 27

PROJEÇÃO DE SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO 27

PROJEÇÃO DE SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL 28

7º CAPÍTULO 30

PARALELISMO 30

PARALELISMO 30

PARALELISMO ENTRE RETAS 30

RETA PARALELA A UM PLANO 30

PLANO PARALELO A UMA RETA 30

PARALELISMO ENTRE PLANOS 31

8º CAPÍTULO 33

PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 33

RETA ORTOGONAL A UM PLANO 33

PLANO ORTOGONAL A UMA RETA 34

ORTOGONALIDADE ENTRE RETAS DE PERFIL E/OU OBLÍQUAS 34

ORTOGONALIDADE ENTRE PLANOS 35

9º CAPÍTULO 37

FIGURAS GEOMÉTRICAS III (contidas em planos não projetantes) 37

SÓLIDOS III (bases contidas em planos não projetantes) 42

10º CAPÍTULO 45

SECÇÕES 45

SECÇÕES PLANAS EM POLIEDROS 45

SECÇÕES PLANAS EM CONES E CILINDROS 47

11º CAPÍTULO 51

INTERSEÇÃO DE RETAS COM SÓLIDOS 51

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UMA PIRÂMIDE 51

Método 1 51

Método 2 51

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UM PRISMA 51

Método 1 51

Método 2 52

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UM CONE 52

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UM CILINDRO 53

12º CAPÍTULO 55

SOMBRAS 55

SOMBRA DE PIRÂMIDES 55

SOMBRA DE PRISMAS 55

SOMBRA DE CONES 56

SOMBRA DE CILINDROS 57

13º CAPÍTULO 60

AXONOMETRIAS 60

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS E OBLÍQUAS 60

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS (ISOMETRIA, DIMETRIA E TRIMETRIA) 60

AXONOMETRIAS OBLÍQUAS (CAVALEIRA E MILITAR) 62

CAVALEIRA 62

MILITAR 62

14º CAPÍTULO 65

CONSTRUÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS 65

Bibliografia 68

1º CAPÍTULO

DEFINIÇÃO DE DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL, REFERENCIAL, PONTO, RETA E PLANO

DUPLA PROJEÇÃO ORTOGONAL

Representação de qualquer ponto, reta, plano, figura geométrica ou sólido no papel, a partir do espaço, em duplicado, uma no Plano Horizontal de Projeção (PHP) e outra no Plano Frontal de Projeção (PFP) através de linhas imaginárias (projetantes horizontais e frontais) que fazem 90º com os planos de Projeção.

REFERENCIAL

Divisão do espaço pelos planos horizontal e frontal de projeção em quatro diedros.

O PONTO

O ponto é representado segundo a sua abcissa, afastamento e cota no referencial. A abcissa é medida relativamente ao plano de perfil de projeção (PPP), o afastamento é medido relativamente ao PFP e a cota é medida relativamente ao PHP. Um ponto que se encontre no 1º diedro tem afastamento e cota positivas, um ponto que se encontre no 2º diedro tem afastamento negativo e cota positiva, um ponto que se encontre no 3º diedro tem afastamento e cota negativas, um ponto que se encontre no 4º diedro tem afastamento positivo e cota negativa.

TRAÇOS DE UMA RETA

Os traços frontal (F) e horizontal (H) de uma reta são os pontos onde a reta interseta (toca) o plano Frontal de Projeção (PFP) e o plano Horizontal de Projeção (PHP).

TRAÇOS DE UM PLANO

Os traços frontal (fα) e horizontal (hα) de um plano são as retas onde o plano interseta (toca) o plano Frontal de Projeção (PFP) e o plano Horizontal de Projeção (PHP).

DEFINIÇÃO DE PONTO E RETA

Um ponto pertence a um plano se pertencer a uma reta desse plano.

Uma reta pertence a um plano se tocar em dois pontos desse plano.

Uma reta pertence a um plano se tiver os seus traços horizontal (H) e frontal (F) contidos nos traços do mesmo nome do plano.

ALFABETO DA RETA

  1. Reta Horizontal
  2. Reta Frontal
  3. Reta Fronto-horizontal
  1. Reta de Topo ou projetante frontal (faz 90º com o plano frontal de projeção)
  2. Reta Vertical ou projetante horizontal (faz 90º com o plano horizontal de projeção)
  3. Reta Oblíqua
  4. Reta Perfil
  5. Reta Oblíqua passante
  6. Reta Perfil passante

Um plano pode ser representado a partir de:

  1. Três pontos não colineares (que não estão na mesma linha ou reta);
  2. Uma reta e um ponto exterior à reta;
  3. Duas retas paralelas;
  4. Duas retas concorrentes;
  5. Traços frontal e horizontal;
  6. Reta de maior declive ortogonal ao traço horizontal do plano;
  7. Reta de maior inclinação ortogonal ao traço frontal do plano.

DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS DE UM PLANO (a partir das alíneas anteriores)

  1. Nas alíneas a) e b) desenhar duas retas paralelas;
  2. Determinar os traços das retas em todas as alíneas, exceto a alínea e);
  3. Por H1 desenhar o traço horizontal do plano;
  4. Por F2 desenhar o traço frontal do plano.

DEFINIÇÃO DE UM PLANO PROJETANTE

Um plano projetante é aquele cujos pontos, retas ou figuras geométricas têm pelo menos uma das projeções coincidentes com um dos traços do plano e que no espaço faz 90º com pelo menos um dos planos projetantes.

DEFINIÇÃO DE UM PLANO NÃO PROJETANTE

Um plano não projetante é aquele cujos pontos, retas ou figuras geométricas não têm nenhuma das projeções coincidentes com nenhum dos traços do plano, exceto se tiverem afastamento ou cota nula e que no espaço não faz 90º com nenhum dos planos projetantes.

ALFABETO DO PLANO

  1. Horizontal (projetante frontal) todas as projeções dos pontos, retas ou figuras geométricas são coincidentes com a projeção do traço frontal do plano.
  2. Frontal (projetante horizontal) todas as projeções dos pontos, retas ou figuras geométricas são coincidentes com a projeção do traço horizontal do plano.
  3. Topo (projetante frontal)
  4. Vertical (projetante horizontal)
  5. Perfil (duplamente projetante) todas as projeções dos pontos, retas ou figuras geométricas são coincidentes com a projeção dos dois traços do plano.
  6. Oblíquo (não projetante) nenhuma projeção de um ponto, reta ou figura geométrica são coincidentes com a projeção do traço horizontal ou frontal do plano, exceto se o ponto tiver cota e/ou afastamento nulos.
  7. Rampa (não projetante)
  8. Passante (não projetante)

2º CAPÍTULO

FIGURAS PLANAS I

FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS HORIZONTAIS OU FRONTAIS

Uma figura plana contida num plano horizontal tem a sua verdadeira grandeza na projeção horizontal.

Figura contida num plano horizontal:

  1. Desenhar traço frontal do plano paralelo a x com a cota dada;
  2. Desenhar V.G. da figura geométrica na projeção horizontal, conforme as indicações do enunciado;
  3. Marcar as projeções frontais dos vértices da figura no traço frontal do plano;
  4. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Uma figura plana contida num plano frontal tem a sua verdadeira grandeza na projeção frontal.

Figura contida num plano frontal:

  1. Desenhar traço horizontal do plano paralelo a x com o afastamento dado;
  2. Desenhar V.G. da figura geométrica na projeção frontal, conforme as indicações do enunciado;
  3. Marcar as projeções horizontais dos vértices da figura no traço horizontal do plano;
  4. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Figura contida num plano de perfil:

  1. Desenhar plano de perfil com a abcissa dada no enunciado;
  2. Marcar os pontos da figura geométrica, conforme as suas coordenadas, no plano de perfil;
  3. Rebater para a 3ª projeção com compasso ou “aristo” a 45º abertura à direita com x, a partir das projeções horizontais dos pontos;
  4. Desenhar a traço forte as projeções da figura pedida no enunciado e pelos vértices rebatidos se for pedida a V.G.

3º CAPÍTULO

INTERSEÇÕES

INTERSEÇÃO DE PLANOS

Dois planos intersetam-se segundo uma reta comum aos dois planos.

Para determinar a reta de interseção de dois planos:

  1. Verificar se algum dos planos é projetante. Se for pelo menos um plano, uma das projeções da reta será coincidente com um dos traços do plano projetante;
  2. Verificar se os traços dos planos se cruzam; se sim, onde se cruzarem encontram-se os traços da reta de interseção, o frontal (F) onde os traços frontais se cruzam, o horizontal (H)onde os traços horizontais se cruzam e basta uni-los: F1 com H1 e F2 com H2.
  3. Se os traços não se cruzam no papel teremos que recorrer a um plano auxiliar: desenhar um plano horizontal ou frontal se se tratar da interseção de dois planos oblíquos ou oblíquo e passante, desenhar um plano de perfil, topo ou vertical se se tratar da interseção de dois planos de rampa ou rampa e passante;
  4. Intersetar o plano auxiliar com cada um dos outros dois planos, obtendo duas retas de interseção entre o plano auxiliar e os planos dados;
  5. Onde as duas retas se intersetarem (cruzarem) será um ponto comum aos três planos. A reta de interseção pedida será a união entre este ponto e o traço horizontal ou frontal da reta, obtido através da interseção de dois traços horizontais ou frontais dos planos dados ou no caso de dois planos de rampa, pelo ponto desenhar uma reta fronto-horizontal.

Interseção de um plano passante com vertical, topo ou horizontal

  1. Desenhar pelo ponto que pertence ao plano passante uma reta auxiliar que intersete o plano de topo, vertical, horizontal, frontal ou perfil;
  2. Determinar o ponto de interseção da reta auxiliar com o outro plano projetante;
  3. Onde a reta se intersetar com o plano obtém-se mais um ponto comum aos dois planos dados, para além do ponto onde se cruzam no eixo X, sendo possível desenhar a reta de interseção pedida no enunciado.

Interseção de um plano passante com um plano oblíquo

  1. Desenhar um plano projetante auxiliar (topo, vertical, horizontal, frontal ou perfil) pelo ponto que pertence ao plano passante;
  2. Determinar as retas de interseção do plano auxiliar com os dois outros planos dados;
  3. Onde se intersetarem obtém-se mais um ponto comum aos dois planos dados, para além do ponto onde se cruzam no eixo X, sendo possível desenhar a reta de interseção pedida no enunciado.

Interseção de dois planos de rampa ou plano passante com plano de rampa

1º Método:

  1. Desenhar um plano auxiliar vertical ou de topo;
  2. Obter duas retas de interseção entre o plano auxiliar e cada um dos planos dados;
  3. O ponto onde as retas se cruzarem será o ponto onde irá passar a reta de interseção fronto-horizontal dos dois planos dados.

2º Método:

  1. Rebater os dois planos para a 3ª Projeção através do plano de perfil de projeção yz;
  2. Onde se cruzarem encontra-se a reta de interseção rebatida representada por um ponto I;
  3. Contra rebater a reta (ponto I) e desenhar a reta fronto-horizontal pretendida.

INTERSEÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

A interseção entre três planos resulta num ponto ou numa reta comum aos três planos. Devemos através dos métodos anteriores de interseção de planos encontrar apenas um ponto ou uma reta comum aos três planos.

INTERSEÇÃO ENTRE UMA RETA E UM PLANO

Interseção entre uma reta e um plano projetante

  1. Se o plano for projetante horizontal o ponto I será determinado onde a projeção horizontal da reta intersetar o traço horizontal do plano. Se o plano for projetante frontal será onde a projeção frontal da reta intersetar o traço frontal do plano.

Interseção entre uma reta projetante e um plano não projetante

  1. Desenhar uma reta qualquer do plano concorrente com a reta dada.
  2. Onde a reta for concorrente com a reta dada encontra-se o ponto I de interseção da reta com o plano.

Interseção entre uma reta qualquer e um plano não projetante (método geral)

  1. Desenhar pela reta dada um plano projetante auxiliar; topo, vertical, horizontal, frontal ou perfil.
  2. Intersetar o plano auxiliar com o plano dado → reta i;
  3. Onde a reta i de interseção cruzar a reta dada, é o ponto de interseção I pedido no enunciado.

Interseção de uma reta de perfil com qualquer plano

  1. Desenhar pela reta de perfil dada um plano de perfil π e determinar a reta i de interseção do plano dado com o plano de perfil π;
  2. Rebater para a 3ª projeção a reta dada e a reta i;
  3. Onde as duas retas se cruzarem encontra-se o ponto I pretendido;
  4. Contra-rebater o ponto I.

4º CAPÍTULO

SÓLIDOS I

SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS HORIZONTAIS, FRONTAIS E DE PERFIL

A base de um sólido é uma figura geométrica, diretriz, assente num dos planos referidos.

A altura de uma pirâmide ou cone é a medida perpendicular entre o plano da base e o plano do vértice, paralelos entre si, mesmo que se trate de uma pirâmide ou cone oblíquos.

A altura de um prisma ou cilindro é a medida perpendicular entre os planos das bases paralelos entre si, mesmo que se trate de um prisma ou cilindro oblíquos.

Uma pirâmide regular ou cone de revolução são aqueles cujo eixo, linha imaginária entre o centro da base e o vértice, fazem 90º com a base, ou seja, é perpendicular à base.

Um prisma regular ou cilindro de revolução são aqueles cujo eixo, linha imaginária entre os centros das bases, faz 90º com as bases, ou seja, é perpendicular às bases.

Uma pirâmide ou cone oblíquos são aqueles cujo eixo, linha imaginária entre o centro da base e o vértice, não faz 90º com a base, ou seja, não é perpendicular à base.

Um prisma ou cilindro oblíquos são aqueles cujo eixo, linha imaginária entre os centros das bases, não faz 90º com as bases, ou seja, não é perpendicular às bases.

5º CAPÍTULO

FIGURAS PLANAS II

FIGURAS PLANAS CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO, VERTICAL OU DE PERFIL

Figura contida num plano de topo

Uma figura plana contida num plano de topo não tem a sua verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção. Para determinar a V.G. terá que se rebater o plano de topo.

Método:

  1. Desenhar traço frontal do plano inclinado em relação a x, conforme o enunciado;
  2. Marcar as projeções frontais dos vértices da figura no traço frontal do plano;
  3. Desenhar V.G. da figura geométrica depois de rebater os vértices da figura para o plano horizontal de projeção colocando a ponta seca do compasso onde os traços do plano se cruzam no eixo x até à projeção frontal do ponto e rodar para o lado oposto da inclinação do traço frontal do plano até ao eixo x. De seguida desenhar uma linha perpendicular ao eixo x até ao afastamento do ponto;
  4. Contra – rebater os vértices da figura em V.G. para o plano de topo, fazendo com o compasso o movimento contrário ao rebatimento;
  5. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Circunferência contida num plano de topo:

  1. Desenhar traço frontal do plano inclinado em relação a x, conforme o enunciado;
  2. Marcar a projeção frontal do centro da circunferência no traço frontal do plano;
  3. Rebater o centro da circunferência para o plano horizontal de projeção, colocando a ponta seca do compasso no eixo do x onde os traços do plano se cruzam até O2 e rodar até x para o lado oposto à inclinação do traço frontal do plano.
  4. Desenhar circunferência e marcar 8 pontos;
  5. Contra – rebater, no sentido inverso ao rebatimento, os 8 pontos para o traço frontal do plano de topo e para a projeção horizontal através de paralelas e perpendiculares ao x;
  6. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Figura contida num plano vertical

Uma figura plana contida num plano vertical não tem a sua verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção. Para determinar a V.G. terá que se rebater o plano vertical.

Método:

  1. Desenhar traço horizontal do plano inclinado em relação a x, conforme o enunciado;
  2. Marcar as projeções horizontais dos vértices da figura no traço frontal do plano;
  3. Desenhar V.G. da figura geométrica depois de rebater os vértices da figura para o plano frontal de projeção colocando a ponta seca do compasso onde os traços do plano se cruzam no eixo x até à projeção horizontal do ponto e rodar para o lado oposto da inclinação do traço horizontal do plano até ao eixo x. De seguida desenhar uma linha perpendicular ao eixo x até à cota do ponto;
  4. Contra – rebater os vértices da figura em V.G. para o plano vertical fazendo o gesto contrário do rebatimento;
  5. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Circunferência contida num plano vertical – Método:

  1. Desenhar traço horizontal do plano inclinado em relação a x, conforme o enunciado;
  2. Marcar a projeção horizontal do centro da circunferência no traço horizontal do plano;
  3. Rebater o centro da circunferência para o plano frontal de projeção, colocando a ponta seca do compasso no eixo do x onde os traços do plano se cruzam até O1 e rodar para o lado oposto à inclinação do traço horizontal do plano até x.
  4. Desenhar circunferência e marcar 8 pontos;
  5. Contra – rebater, no sentido inverso ao rebatimento, os 8 pontos para o traço horizontal do plano vertical;
  6. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Figura contida num plano de perfil – Método:

  1. Desenhar plano de perfil perpendicular ao eixo x;
  2. Marcar as duas projeções dos vértices da figura nos dois traços do plano;
  3. Rebater os vértices da figura para o plano frontal de projeção com o «aristo» a 45º ou com compasso, a partir das projeções horizontais dos pontos dados, para a direita, no sentido contrário aos ponteiros do relógio;
  4. Desenhar a figura em V.G.;
  5. Contra – rebater os vértices da figura no sentido dos ponteiros do relógio para o plano de perfil;
  6. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

Circunferência contida num plano de perfil:

  1. Desenhar plano de perfil perpendicular ao eixo x;
  2. Marcar as duas projeções do centro da circunferência nos dois traços do plano;
  3. Rebater o centro da circunferência para o plano frontal de projeção, colocando a ponta seca do compasso no eixo do x onde os traços do plano se cruzam até O1 e rodar para o lado direito até x e subir à cota de O2;
  4. Desenhar circunferência e marcar 8 pontos;
  5. Contra – rebater, no sentido inverso ao rebatimento, os 8 pontos para o traço horizontal do plano de perfil;
  6. Desenhar a traço forte a figura pedida no enunciado.

6º CAPÍTULO

SÓLIDOS II

PROJEÇÃO DE SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS VERTICAIS

Pirâmide regular com base contida num plano vertical:

  1. Depois de desenhar a figura da base contida no plano conforme o capítulo anterior, determinar o centro da base;
  2. Pelas projeções do centro da base desenhar o eixo da pirâmide perpendicular aos dois traços do plano vertical;
  3. Encontrar o vértice da pirâmide na projeção horizontal do eixo onde se encontra a V.G. da sua altura;
  4. Unir todos os pontos da base ao vértice.

Prisma regular com bases contidas em planos verticais:

  1. Desenhar a figura da base contida no plano conforme o capítulo anterior;
  2. Por cada um dos vértices da primeira base desenhar as arestas laterais perpendiculares aos traços do plano vertical dado até ao plano vertical que contém a outra base do prisma, cuja V.G. da altura se encontra na projeção horizontal.

PROJEÇÃO DE SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS DE TOPO

Pirâmide regular com base contida num plano de topo:

  1. Depois de desenhar a figura da base contida no plano conforme o capítulo anterior, determinar o centro da base;
  2. Pelo centro da base desenhar o eixo da pirâmide perpendicular aos dois traços do plano de topo;
  3. Encontrar o vértice da pirâmide na projeção frontal do eixo onde se encontra a V.G. da sua altura;
  4. Unir todos os pontos da base ao vértice.

Prisma regular com bases contidas em planos de topo:

  1. Desenhar a figura da base contida no plano conforme o capítulo anterior;
  2. Por cada um dos vértices da primeira base desenhar as arestas laterais perpendiculares aos traços do plano de topo dado até ao plano de topo que contém a outra base do prisma, cuja V.G. da altura se encontra na projeção frontal.

PROJEÇÃO DE SÓLIDOS COM BASES CONTIDAS EM PLANOS DE PERFIL

Pirâmide regular com base contida num plano de perfil

  1. Desenhar a figura da base contida no plano conforme o capítulo anterior;
  2. Pelas projeções do centro da base desenhar o eixo da pirâmide perpendicular aos traços do plano de perfil;
  3. Encontrar o vértice da pirâmide nas duas projeções do eixo, pois ambas se encontram em V.G.;
  4. Unir todos os pontos da base ao vértice.

Prisma regular com bases contidas em planos de perfil:

  1. Desenhar a figura da base contida no plano conforme o capítulo anterior;
  2. Por cada um dos vértices da primeira base desenhar as arestas laterais perpendiculares aos traços do plano de perfil dado até ao plano de perfil que contém a outra base do prisma, cuja V.G. da altura se encontra em ambas as projeções.

7º CAPÍTULO

PARALELISMO

PARALELISMO

Duas retas quaisquer são paralelas se tiverem as projeções paralelas entre si, exceto as retas de perfil.

PARALELISMO ENTRE RETAS

Duas retas de perfil são paralelas se forem concorrentes com duas outras retas oblíquas paralelas ou concorrentes entre si ou se forem paralelas na 3ª Projeção (plano de perfil de Projeção – π0).

  1. Desenhar duas retas oblíquas concorrentes com as retas de perfil em dois pontos;
  2. Se as retas oblíquas forem paralelas significa que as retas de perfil também são paralelas.

RETA PARALELA A UM PLANO

Uma reta é paralela a um plano se for paralela a uma reta desse plano.

  1. Desenhar uma reta pertencente ao plano dado com as características da reta pedida;
  2. Se for pedido uma reta paralela a dois planos, determina-se primeiro a reta de interseção entre os dois planos;
  3. Pelo ponto dado desenhar uma reta paralela à reta do(s) plano(s);

PLANO PARALELO A UMA RETA

Um plano é paralelo a uma reta a se o plano contiver uma reta paralela à reta a.

  1. Por um ponto dado desenhar uma reta paralela à reta dada;
  2. Determinar os seus traços;
  3. Pelos traços da reta desenhar os traços do plano conforme pedido no enunciado.

PARALELISMO ENTRE PLANOS

Dois planos são paralelos se tiverem os traços horizontal e frontal paralelos aos traços do mesmo nome (homónimos) do outro plano, exceto os planos de rampa e passantes;

  1. Por um ponto desenhar uma reta paralela a uma reta do plano dado;
  2. Determinar os seus traços;
  3. Pelos traços da reta desenhar os traços do plano paralelo aos traços do plano dado.

Dois planos de rampa ou passantes são paralelos se contiverem duas retas paralelas entre si ou se forem paralelos na 3ª Projeção (plano de perfil de Projeção – π0).

1º Método

  1. Desenhar uma reta oblíqua do plano de rampa dado;
  2. Pelo ponto dado desenhar uma reta paralela à reta anterior;
  3. Determinar os seus traços;
  4. Desenhar o plano pedido pelos traços da reta.

2º Método

  1. Rebater o plano dado e o ponto ou reta do plano pedido para a 3ª projeção;
  2. Desenhar plano rebatido, representado por uma reta de perfil rebatida;
  3. Determinar traços da reta rebatida e contra-rebater;
  4. Pelos traços da reta desenhar os traços do plano pedido.

8º CAPÍTULO

PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE

Duas retas são perpendiculares se fizerem entre si 90º e forem concorrentes

Duas retas são ortogonais se fizerem entre si 90º e não forem concorrentes, mas sim enviesadas.

Uma reta oblíqua é perpendicular ou ortogonal, em duas dimensões (no papel), apenas a uma reta horizontal ou frontal.

RETA ORTOGONAL A UM PLANO

Uma reta é ortogonal a um plano se tiver as suas projeções perpendiculares aos traços do mesmo nome do plano, e no caso da reta de perfil e plano de rampa ou passante, se forem ortogonais na 3ª projeção.

Método:

  1. Desenhar um plano de perfil pela reta de perfil p dada ou usar o plano de perfil de projeção π0 (y=z);
  2. Determinar a reta de interseção entre os dois planos, perfil e rampa ou passante, obtendo os traços da reta i;
  3. Rebater o ponto dado e a reta de perfil i para a 3ª projeção;
  4. Pelo ponto dado rebatido da reta de perfil p pedida desenhar uma reta perpendicular à reta i rebatida;
  5. Marcar outro ponto da reta p rebatida e contra – rebater;
  6. Desenhar a traço forte as projeções da reta p.

PLANO ORTOGONAL A UMA RETA

Um plano é ortogonal a uma reta se tiver os seus traços perpendiculares às projeções do mesmo nome da reta.

Método:

  1. Se a reta for oblíqua desenhar uma reta horizontal ou frontal perpendicular à reta oblíqua pelo ponto dado;
  2. Determinar o traço da reta;
  3. Pelo traço da reta desenhar o plano ortogonal à reta dada.

Um plano de rampa ou passante é ortogonal a uma reta de perfil se forem ortogonais na 3ª projeção.

Método:

  1. Desenhar um plano de perfil pela reta de perfil dada ou usar o plano de perfil de projeção π0 (y=z);
  2. Rebater os elementos dados do plano (traço ou ponto) para a 3ª projeção;
  3. Desenhar o plano rebatido perpendicular à reta de perfil rebatida;
  4. Determinar o ou os traços do plano rebatidos e contra – rebater;
  5. Desenhar a traço forte os traços do plano pedido no enunciado.

ORTOGONALIDADE ENTRE RETAS DE PERFIL E/OU OBLÍQUAS

Uma reta oblíqua é ortogonal a outra reta oblíqua ou de perfil se estiver contida num plano ortogonal à outra reta (reta/plano/reta) ou for ortogonal ao plano que contém a outra reta.

(reta dada/reta horizontal + plano/reta pedida)

Método:

  1. Pelo ponto dado desenhar uma reta horizontal ou frontal ortogonal à reta dada;
  2. Determinar o traço da reta horizontal ou frontal;
  3. Pelo traço da reta horizontal ou frontal desenhar plano ortogonal à reta dada;
  4. Desenhar reta pedida pertencente ao plano.

Uma reta oblíqua é perpendicular a outra reta oblíqua ou de perfil se estiver contida num plano ortogonal à outra reta (reta/plano/reta) e for sua concorrente ou for ortogonal ao plano que contém a outra reta e for sua concorrente.

Método:

  1. Pelo ponto dado desenhar uma reta horizontal ou frontal ortogonal à reta dada;
  2. Determinar o traço da reta horizontal ou frontal;
  3. Pelo traço da reta horizontal ou frontal desenhar plano ortogonal à reta dada;
  4. Determinar ponto I de interseção da reta dada com o plano;
  5. Pelo ponto I desenhar reta pedida pertencente ao plano.

ORTOGONALIDADE ENTRE PLANOS

Um plano é ortogonal a outro se contiver uma reta ortogonal ao outro plano (plano/reta/plano).

Método:

  1. Pelo ponto dado desenhar uma reta ortogonal ao plano dado;
  2. Determinar os traços da reta;
  3. Pelos traços da reta desenhar um plano que contém a reta conforme pedido no enunciado;

Qualquer plano cujos traços frontal e horizontal sejam coincidentes é ortogonal ao β2/4. Os traços podem ser oblíquos, paralelos ou perpendiculares ao eixo X.

Qualquer plano cujos traços frontal e horizontal sejam simétricos em relação ao eixo X é ortogonal ao β1/3. Os traços podem ser oblíquos, paralelos ou perpendiculares ao eixo X.

9º CAPÍTULO

FIGURAS GEOMÉTRICAS III (contidas em planos não projetantes)

REBATIMENTO DE UM PLANO OBLÍQUO PELOS SEUS TRAÇOS

  1. A partir de uma reta horizontal do plano, desenhar pelo traço frontal da reta um plano vertical cujo traço horizontal seja perpendicular ao traço horizontal do plano oblíquo;
  2. Colocar a ponta seca do compasso na interseção dos traços do plano com o eixo X até Fr2 rodar até ao traço horizontal do plano vertical para obter Fr, o traço frontal da reta horizontal rebatido;
  3. A partir da interseção dos traços do plano oblíquo com o eixo X passando por Fr desenhar o traço frontal do plano oblíquo rebatido;
  4. Desenhar a figura geométrica pedida no enunciado e contra – rebater os restantes vértices da figura;
  5. Para contra – rebater os pontos desenhar uma ortogonal ao eixo a passar por um ponto rebatido;
  6. Prolongar os lados ou diagonais da figura geométrica até aos traços do plano rebatidos e encontrar Hr e Fr da reta. Hr no traço horizontal e Fr no traço frontal rebatido;
  7. Hr é coincidente com H1. Contra – rebater Fr para o eixo x e traço frontal do plano através de uma reta de perfil.
  8. Desenhar as projeções das retas que contêm os lados ou diagonais da figura geométrica unindo os traços horizontais aos frontais das respetivas retas.
  9. Desenhar as projeções da figura geométrica unindo todos os vértices nas duas projeções.

ATENÇÃO: num plano oblíquo, todas as retas frontais rebatidas são paralelas ao traço frontal rebatido do plano e todas as retas horizontais rebatidas são paralelas ao traço horizontal rebatido do mesmo plano.

REBATIMENTO DE UM PLANO OBLÍQUO ATRAVÉS DO TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

  1. A partir de um ponto P pertencente a uma reta do plano desenhar uma paralela e uma ortogonal à charneira ou eixo definido pelo traço horizontal ou frontal do plano;
  2. Na paralela marcar a medida entre o ponto P na Projeção oposta ao traço do plano que serve de charneira e o eixo X, obtendo Pr1;
  3. Unir Pr1 à interseção entre a charneira (eixo) e a reta ortogonal à charneira e com o compasso, centro neste ponto até Pr1 rodar até à ortogonal à charneira para obter Pr. (ponto P rebatido).
  4. Desenhar a figura geométrica pedida no enunciado e contra – rebater os restantes vértices da figura.
  5. Para contra – rebater os pontos desenhar uma perpendicular à charneira (traço horizontal ou frontal do plano) a passar por um ponto rebatido;
  6. Onde a perpendicular intersetar o eixo, desenhar uma paralela à hipotenusa do triângulo de rebatimento do 1º ponto rebatido;
  7. Com centro no mesmo ponto do eixo, com o compasso até ao ponto rebatido desenhar o arco de rebatimento até à hipotenusa;
  8. Desenhar uma paralela à charneira pela interseção do arco com a hipotenusa;
  9. A projeção do ponto será na interseção da paralela com a perpendicular à charneira;
  10. Por Pr1 desenhar uma reta horizontal do plano e marcar P1 onde cruzar com a perpendicular;
  11. Desenhar as projeções da figura geométrica unindo todos os vértices nas duas projeções.

ATENÇÃO: todas as retas frontais rebatidas são paralelas ao traço frontal rebatido do plano oblíquo e todas as retas horizontais rebatidas são paralelas ao traço horizontal rebatido do mesmo plano.

REBATIMENTO DE UM PLANO DE RAMPA PELOS SEUS TRAÇOS

  1. Rebater o traço frontal F de uma reta de perfil do plano através do triângulo de rebatimento, escolhendo como charneira o traço horizontal do plano, sendo a paralela o eixo X e a ortogonal a própria reta de perfil;
  2. Depois de obter Fr desenhar o traço frontal do plano rebatido por esse ponto;
  3. Rebater a reta ou retas que contêm vértices da figura unindo Hr a Fr;
  4. Através de retas de perfil rebater os vértices para as retas rebatidas e vice – versa;
  5. Desenhar as projeções da figura geométrica unindo todos os vértices nas duas projeções;
  6. Para contra – rebater os pontos desenhar uma ortogonal ao eixo a passar por um ponto rebatido;
  7. Onde a ortogonal intersetar o eixo, desenhar uma paralela à hipotenusa do triângulo de rebatimento do 1º ponto rebatido (neste caso será Fr);
  8. Com centro no mesmo ponto do eixo, com o compasso até ao ponto rebatido desenhar o arco de rebatimento até à hipotenusa;
  9. Desenhar uma paralela à charneira pela interseção do arco com a hipotenusa;
  10. A projeção do ponto será na interseção da paralela com a perpendicular à charneira;
  11. A cota do ponto será a distância entre Pr1 e P1.

REBATIMENTO DE UM PLANO DE RAMPA ATRAVÉS DO TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

  1. A partir de um ponto A pertencente a uma reta ou figura geométrica do plano desenhar uma paralela e uma ortogonal à charneira ou eixo definido pelo traço horizontal ou frontal do plano;
  2. Na paralela marcar a medida entre o ponto A na Projeção oposta ao traço do plano que serve de charneira e o eixo X, obtendo Ar1;
  3. Unir Ar1 à interseção entre a charneira e a reta ortogonal à charneira e com o compasso, centro neste ponto até Ar1 rodar até ao plano de perfil (ortogonal à charneira) para obter Ar (ponto A rebatido);
  4. Repetir a operação com os outros pontos da figura geométrica se forem dadas as suas projeções, caso contrário contra – rebater os pontos rebatidos;
  5. Desenhar uma reta de perfil pelo ponto rebatido e uma paralela ao raio do arco de rebatimento (hipotenusa do triângulo de rebatimento) onde a reta de perfil interseta o eixo;
  6. Com a ponta seca do compasso na interseção entre a reta de perfil e o eixo, desenhar um arco do ponto rebatido até à paralela referida obtendo Br1;
  7. Desenhar por Br1 uma paralela ao eixo;
  8. Onde a paralela se encontra com a reta de perfil encontra-se B1;
  9. B2 obtém-se pela distância entre Br1 e B1;
  10. Desenhar as projeções da figura geométrica unindo todos os vértices nas duas projeções.

REBATIMENTO DE UM PLANO PASSANTE ATRAVÉS DO TRIÂNGULO DE REBATIMENTO

  1. A partir de um ponto A pertencente a uma reta ou figura geométrica do plano desenhar uma paralela e uma ortogonal à charneira ou eixo definido pelo traço horizontal ou frontal do plano;
  2. Na paralela marcar a medida entre o ponto A e o eixo X, obtendo Ar1, unir Ar1 à interseção entre a charneira e a reta ortogonal à charneira e com o compasso, centro neste ponto até Ar1 rodar até ao plano de perfil (ortogonal à charneira) para obter Ar (ponto A rebatido);
  3. Repetir a operação com os outros pontos da figura geométrica se forem dadas as suas projeções, caso contrário contra – rebater os pontos rebatidos;
  4. Desenhar uma reta de perfil pelo ponto rebatido e uma paralela ao raio do arco de rebatimento (hipotenusa do triângulo de rebatimento) onde a reta de perfil interseta o eixo;
  5. Com a ponta seca do compasso na interseção entre a reta de perfil e o eixo, desenhar um arco do ponto rebatido atá à paralela referida obtendo Br1;
  6. Desenhar por Br1 uma paralela ao eixo;
  7. Onde a paralela se encontra com a reta de perfil encontra-se B1;
  8. B2 obtém-se pela distância entre Br1 e B1;
  9. Desenhar as projeções da figura geométrica unindo todos os vértices nas duas projeções.

SÓLIDOS III (bases contidas em planos não projetantes)

Poliedros com bases contidas em planos oblíquos:

  1. Seguir as instruções sobre rebatimentos de figuras geométricas contidas em planos oblíquos descritas anteriormente;
  2. Depois de determinar as projeções da base do sólido, desenhar uma reta p, perpendicular ao plano oblíquo a partir do centro da base do sólido, se for uma pirâmide e a partir de um vértice da base se se tratar de um prisma ou cubo;
  3. Desenhar um plano de topo pela reta p;
  4. Determinar o traço frontal da reta p e escrever F2 coincidente com Fr;
  5. A partir do centro da pirâmide ou de um vértice da base do prisma desenhar uma perpendicular ao traço frontal do plano de topo com a medida do afastamento do ponto;
  6. Unir o ponto rebatido ao Fr da reta p e marcar a V.G. da altura do sólido;
  7. Contra-rebater o vértice rebatido através de uma perpendicular ao traço frontal do plano de topo de modo a encontrar as suas projeções horizontal e frontal;
  8. Unir as projeções do vértice encontrado com as projeções da base da pirâmide ou prisma.

Poliedros com bases contidas em planos de rampa:

  1. Seguir as instruções sobre rebatimentos de figuras geométricas contidas em planos de rampa descritas anteriormente;
  2. Depois de determinar as projeções da base do sólido, desenhar uma reta perpendicular ao plano de rampa, a partir do centro da base do sólido, se for uma pirâmide e a partir de um vértice da base, se se tratar de um prisma ou cubo;
  3. Determinar a VG da distância da base ao vértice da pirâmide ou a um vértice da segunda base do prisma através do rebatimento para a 3ª Projeção ou plano de perfil;
  4. Contra – rebater o vértice rebatido de modo a encontrar as suas projeções horizontal e frontal;
  5. Unir as projeções do vértice encontrado com as projeções da base da pirâmide ou prisma.

Poliedros com bases contidas em planos passantes:

  1. Seguir as instruções sobre rebatimentos de figuras geométricas descritas anteriormente;
  2. Depois de determinar as projeções da base do sólido, desenhar uma reta perpendicular ao plano passante, a partir do centro da base do sólido, se for uma pirâmide e a partir de um vértice da base, se se tratar de um prisma ou cubo;
  3. Rebater para a 3ª projeção o centro da base da pirâmide ou um vértice da base do prisma e o plano passante que contém esse ponto;
  4. Na 3ª projeção desenhar uma perpendicular ao plano passante rebatido a partir do ponto rebatido;
  5. Determinar a VG da distância do ponto da base ao vértice da pirâmide ou a um vértice da segunda base do prisma (altura do sólido);
  6. Contra – rebater o vértice rebatido de modo a encontrar as suas projeções horizontal e frontal;

Unir as projeções do vértice encontrado com as projeções da base da pirâmide ou prisma.

10º CAPÍTULO

SECÇÕES

SECÇÕES PLANAS EM POLIEDROS

Secções planas em poliedros – corte produzido num sólido, de modo a se visualizar a parte cortada ou delineada por um plano secante.

Plano secante – plano que corta ou que secciona o sólido.

Figura da secção – sólido delineado por um plano, como se tratasse de uma linha à volta do sólido, sem dividir o mesmo.

Sólido truncado ou resultante da secção – sólido cortado por um plano, dividindo aquele em dois sólidos, dos quais um deles é no papel marcado a traço forte o seu contorno e a tracejado fino paralelo a X a superfície cortada.

A determinação de uma secção num sólido por um plano resolve-se através da interseção de retas (arestas dos sólidos) com planos (plano secante).

Secções planas produzidas por planos paralelos aos planos das bases – As secções de sólidos por planos paralelos ao(s) plano(s) da(s) base(s) produzem secções paralelas às bases da mesma dimensão se se tratar de um prisma ou cilindro e de menor dimensão se se tratar de uma pirâmide ou cone.

Secções planas produzidas por planos projetantes não paralelos às bases – As secções de sólidos por planos não paralelos ao(s) plano(s) da(s) base(s) produzem secções não paralelas às bases, determinadas através da interseção imediata das arestas com o plano secante.

Secções planas produzidas por planos não projetantes – A determinação de uma secção num sólido por um plano não projetante resolve-se através da interseção de retas (arestas dos sólidos) com planos (plano secante).

Método:

  1. Desenhar por uma aresta um plano projetante auxiliar; topo, vertical, horizontal, frontal ou perfil.
  2. Intersetar o plano auxiliar com o plano secante → reta i;
  3. Onde a reta i de interseção cruzar com a aresta, é um ponto da secção.

Método DO complementar:

  1. Após determinar um dos pontos da secção numa aresta lateral do sólido, prolongar uma aresta da base contida na mesma face do ponto antes determinado, até à reta i de interseção entre o plano que contém a base e o plano secante;
  2. Unir o ponto comum às duas retas, isto é, à aresta da base e à reta i, ao ponto da secção na aresta lateral do sólido e prolongar até outra aresta lateral da mesma face do sólido, determinando assim outro ponto da secção.

Secção de um poliedro por um plano de rampa

  1. Desenhar plano de perfil pelo vértice da base mais à direita;
  2. Determinar reta i de interseção entre o plano de perfil e o plano de rampa, obtendo os traços da reta;
  3. Rebater para a 3ª projeção o sólido e a reta i através dos seus traços;
  4. Onde a reta i3 (representa o plano de rampa rebatido) intersetar as arestas do sólido encontram-se os pontos da secção;
  5. Contra rebater os pontos da secção e unir a traço forte.

SECÇÕES PLANAS EM CONES E CILINDROS

CONES

Secção produzida por um plano horizontal ou frontal:

Método:

  1. Determinar o lugar geométrico na superfície cónica de todos os pontos com a cota do plano horizontal ou o afastamento do plano frontal, isto é, a partir da interseção do plano secante com o eixo do cone desenhar uma circunferência com raio até uma das geratrizes de contorno aparente do cone na projeção oposta ao plano secante.

Secção produzida por um plano vertical ou de topo:

Método dos planos paralelos à base:

  1. Dividir em 4 partes o corte que o plano secante produz na superfície cónica;
  2. Por cada ponto desenhar um plano paralelo à base do cone;
  3. Onde o plano paralelo à base do cone intersectar o eixo do cone encontra-se o centro de uma circunferência com raio até à geratriz do contorno aparente do cone;
  4. Determinar a reta de interseção entre os dois planos;
  5. Determinar 2 pontos comuns à reta de interseção e à circunferência;
  6. Repetir a mesma operação para os outros dois planos paralelos à base.
  7. Unir todos os pontos encontrados através de uma régua curva (escantilhão) ou cobra.

Método das geratrizes

  1. A partir de 8 pontos da base a igual distância, unir ao vértice nas duas projeções do cone;
  2. Onde cada geratriz intersetar o plano secante encontram-se pontos da figura da secção;
  3. Unir todos os pontos a traço forte.

CILINDROS

Secção produzida por um plano horizontal ou frontal:

Método:

  1. Determinar o lugar geométrico na superfície cilíndrica de todos os pontos com a cota do plano horizontal ou o afastamento do plano frontal, isto é, a partir da interseção do plano secante com o eixo do cilindro desenhar uma circunferência com raio até uma das geratrizes de contorno aparente do cilindro na projeção oposta ao plano secante.

Secção de um cilindro produzida por um plano vertical ou de topo:

Método dos planos paralelos à base:

  1. Dividir em 4 partes o corte que o plano secante produz na superfície cilíndrica;
  2. Por cada ponto desenhar um plano paralelo à base do cilindro;
  3. Onde o plano paralelo à base do cone intersectar o eixo do cilindro encontra-se o centro de uma circunferência com raio até à geratriz do contorno aparente do cilindro;
  4. Determinar reta de interseção entre os dois planos;
  5. Determinar 2 pontos comuns à reta de interseção e à circunferência;
  6. Repetir a mesma operação para os outros dois planos paralelos à base.
  7. Unir todos os pontos encontrados através de uma régua curva (escantilhão) ou cobra.

Método das geratrizes

  1. Dividir em 4 partes o corte que o plano secante produz na superfície cilíndrica;
  2. Por cada ponto desenhar uma geratriz de uma base à outra;
  3. Onde cada geratriz intersetar o plano secante encontram-se pontos da figura da secção;
  4. Unir todos os pontos a traço forte.

11º CAPÍTULO

INTERSEÇÃO DE RETAS COM SÓLIDOS

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UMA PIRÂMIDE

Método 1

  1. Pela reta dada desenhar um plano projetante;
  2. Determinar a secção que o plano produz no sólido;
  3. Onde a reta intersetar a secção encontram-se os pontos X e Y.
  4. Desenhar a traço forte a reta dada com as respetivas invisibilidades.

Método 2

  1. Desenhar uma reta por um ponto da reta dada e pelo vértice da pirâmide;
  2. Determinar os pontos onde cada reta interseta o plano da base;
  3. Unir os dois pontos e obter a reta i;
  4. Onde a reta i se cruzar com a base encontram-se os pontos M e N;
  5. Unir os pontos M e N ao vértice;
  6. Onde a reta dada se cruzar com as geratrizes MV e NV encontram-se os pontos X e Y, de interseção da reta dada com a pirâmide;
  7. Se a reta dada cruzar a base e não uma geratriz, encontra-se na base um dos pontos X ou Y.
  8. Desenhar a traço forte a reta dada com as respetivas invisibilidades;

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UM PRISMA

Método 1

  1. Pela reta dada desenhar um plano projetante;
  2. Determinar a secção que o plano produz no sólido;
  3. Onde a reta intersetar a secção encontram-se os pontos X e Y.
  4. Desenhar a traço forte a reta dada com as respetivas invisibilidades.

Método 2

  1. Desenhar uma reta por um ponto da reta dada paralela às arestas ou eixo do prisma;
  2. Determinar os pontos I e J onde cada reta interseta o plano da base;
  3. Unir os dois pontos e obter a reta i;
  4. Onde a reta i se cruzar com a base encontram-se os pontos M e N;
  5. Unir os pontos M e N aos pontos M’ e N’ da outra base ;
  6. Onde a reta dada se cruzar com as geratrizes MM’ e NN’ encontram-se os pontos X e Y, de interseção da reta dada com o prisma;
  7. Desenhar a traço forte a reta dada com as respetivas invisibilidades;
  8. Se a reta dada cruzar a base e não uma geratriz, encontra-se na base um dos pontos X ou Y.

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UM CONE

  1. Desenhar uma reta por um ponto da reta dada e pelo vértice do cone;
  2. Determinar os pontos onde cada reta interseta o plano da base;
  3. Unir os dois pontos e obter a reta i;
  4. Onde a reta i se cruzar com a circunferência encontram-se os pontos M e N;
  5. Unir os pontos M e N ao vértice;
  6. Onde a reta dada se cruzar com as geratrizes MV e NV encontram-se os pontos X e Y, de interseção da reta dada com o cone;
  7. Se a reta dada cruzar a base e não uma geratriz, encontra-se na base um dos pontos X ou Y.
  8. Desenhar a traço forte a reta dada com as respetivas invisibilidades;

INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM UM CILINDRO

  1. Desenhar uma reta por um ponto da reta dada paralela às geratrizes ou eixo do cilindro;
  2. Determinar os pontos I e J onde cada reta interseta o plano da base;
  3. Unir os dois pontos e obter a reta i;
  4. Onde a reta i se cruzar com a base encontram-se os pontos M e N;
  5. Unir os pontos M e N aos pontos M’ e N’ da outra base paralelamente ao eixo do cilindro ;
  6. Onde a reta dada se cruzar com as geratrizes MM’ e NN’ encontram-se os pontos X e Y, de interseção da reta dada com o cilindro;
  7. Desenhar a traço forte a reta dada com as respetivas invisibilidades;
  8. Se a reta dada cruzar a base e não uma geratriz, encontra-se na base um dos pontos X ou Y.

12º CAPÍTULO

SOMBRAS

SOMBRA DE PIRÂMIDES

  1. Pelo vértice desenhar um raio luminoso;
  2. Onde o raio luminoso intersetar o plano da base encontra-se o ponto I;
  3. A partir de I1 ou I2 (aquele que estiver na mesma projeção da base) desenhar as retas tangentes (separatriz luz/sombra) pela V.G. da figura da base nos vértices mais à esquerda e mais à direita do ponto I. As retas não poderão passar pelo interior da figura;
  4. Determinar a sombra dos vértices da base da pirâmide por onde passam as retas tangentes e uni-las à sombra do vértice da mesma.
  5. Determinar todos os outros vértices da pirâmide que contribuam para o contorno da sombra e uni-los.
  6. A sombra própria das faces da pirâmide encontram-se entre os dois vértices da base onde passam as linhas separatriz luz/sombra do lado oposto à origem da luz.
  7. Desenhar mancha clara e uniforme nas faces da pirâmide em sombra própria e mancha mais clara na sombra projetada da pirâmide.

SOMBRA DE PRISMAS

  1. Por um ponto exterior ao sólido desenhar um raio luminoso e uma reta paralela às arestas laterais do prisma ou eixo;
  2. Onde o raio luminoso e a reta intersetarem o plano da base de menor afastamento ou cota encontram-se os pontos I e I´;
  3. Pelos pontos I e I´ desenhar a reta i de interseção do plano que contém as retas e o plano da base de menor afastamento ou cota;
  4. Desenhar as retas tangentes, separatriz luz/sombra, paralelas à reta i pela V.G. da figura da base nos vértices mais perto e mais longe ou mais acima e mais abaixo da reta i. As retas tangentes não podem atravessar o interior da figura da base;
  5. Determinar a sombra dos pontos de tangência das duas bases e unir;
  6. Determinar a sombra dos outros vértices das bases que contribuam para o contorno da sombra projetada.
  7. A sombra própria encontra-se nas faces do prisma opostas à origem luminosa a partir dos vértices onde passam as linhas separatriz luz/sombra.
  8. Desenhar mancha clara e uniforme nas faces do prisma em sombra própria e mancha mais clara na sombra projetada.

SOMBRA DE CONES

  1. Pelo vértice desenhar um raio luminoso;
  2. Onde o raio luminoso intersetar o plano da base encontra-se o ponto I;
  3. A partir de I1 ou I2 (aquele que estiver na mesma projeção da circunferência da base) desenhar as retas tangentes à circunferência da base pelos pontos mais à esquerda e mais à direita do ponto I, dividindo o segmento [IO] em dois, com o compasso a partir do ponto médio até ao centro da circunferência, marcar os pontos de tangência na própria circunferência, os pontos T e T`;
  4. Unir os pontos de tangência ao vértice nas duas projeções para determinar as geratrizes tangentes aos planos separatriz luz/sombre com as resspetivas invisibilidades;
  5. Determinar os pontos de quebra da sombra do cone através de um raio luminoso passante a partir do foco ou com a direção convencional ou com uma direção dada no enunciado;
  6. Onde o raio luminoso passante intersetar o plano da base encontra-se outro ponto I` por onde irá passar a reta i` fronto-horizontal.
  7. Onde a reta i´ intersetar a circunferência encontram-se os pontos de quebra;
  8. Determinar a sombra do centro da base, do vértice do cone e dos pontos em sombra se a base do cone tiver maior cota ou maior afastamento que o vértice ou dos pontos iluminados se a base do cone tiver menor cota ou menor afastamento que o vértice, incluindo os pontos de tangência e uni-los.
  9. Desenhar mancha clara e uniforme na superfície do cone em sombra própria e mancha mais clara na sombra projetada.

SOMBRA DE CILINDROS

  1. Por um ponto exterior ao sólido desenhar um raio luminoso e uma reta paralela às geratrizes do cilindro ou eixo;
  2. Onde o raio luminoso e a reta intersetarem o plano da base de menor afastamento ou cota encontram-se os pontos I e I´;
  3. Por I e I´ desenhar a reta i de interseção do plano que contém as retas e o plano da base de menor afastamento ou cota;
  4. Por cada um dos centros das bases desenhar uma diagonal perpendicular à reta i;
  5. Desenhar as retas tangentes paralelas à reta i pelos pontos onde a diagonal interseta a circunferência da base de menor afastamento ou cota;
  6. Unir os pontos de tangência de uma base à outra do sólido para determinar as geratrizes tangentes aos planos separatriz luz/sombra;
  7. Para determinar os pontos de quebra, desenhar um raio luminoso passante, intersetar com o plano da base e marcar outro ponto I´´ por onde irá passar a reta i` fronto-horizontal:

Se a reta i´ intersetar a circunferência existem pontos de quebra;

Se a reta i´ não intersetar a circunferência não existem pontos de quebra;

  1. Determinar a sombra dos pontos de tangência e uni-los, obtendo a sombra das geratrizes que ligam uma base à outra;
  2. Determinar a sombra dos centros das bases e de 3 pontos ou mais de cada base do cilindro, consoante os casos;
  3. Se a sombra do centro de uma base se encontrar na mesma projeção que a própria base, a sombra desta será total ou parcialmente uma circunferência;
  4. Se a sombra do centro de uma base se encontrar na projeção contrária que a própria base, deve-se determinar a sombra virtual do centro da circunferência e com compasso desenhar a sombra da base na mesma projeção que a VG da base e que será total ou parcialmente uma circunferência. A restante sombra da base será parte de uma elipse que pode ser, depois de determinada a sombra de alguns pontos, desenhada à mão ou com escantilhão de curvas;
  5. A sombra própria abrange toda a superfície do cilindro entre as geratrizes separatriz luz/sombra;

Desenhar mancha clara e uniforme na superfície do cilindro em sombra própria e mancha mais clara na sombra projetada.

13º CAPÍTULO

AXONOMETRIAS

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS E OBLÍQUAS

A axonometria é a representação da perspetiva de um ponto, reta, figura geométrica ou sólido. Nas axonometrias ortogonais todos os eixos são representados segundo projetantes ortogonais, x, y, z, enquanto que nas axonometrias oblíquas apenas dois eixos são representados segundo projetantes ortogonais e um eixo é representado segundo projetantes oblíquas. O eixo z mantém-se sempre na vertical.

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS (ISOMETRIA, DIMETRIA E TRIMETRIA)

Na isometria os 3 eixos fazem entre si 120º.

Na dimetria dois eixos fazem com um dos eixos o mesmo ângulo.

Na trimetria todos os eixos fazem diferentes ângulos entre si.

MÉTODO DOS CORTES

O método dos cortes consiste em rebater a perspetiva dos planos horizontal e frontal ou de perfil de projeção, através do triângulo fundamental (quadro), que irá servir de charneira, de um sólido existente no espaço para o plano axonométrico de modo a que ao unir os pontos rebatidos de duas projeções de um sólido através de linhas paralelas aos eixos x, y ou z em perspetiva, se obtém o sólido em 3D, isto é, a perspetiva do sólido.

  1. Desenhar os eixos x, y e z conforme pedido no enunciado;
  2. Desenhar o triângulo fundamental de modo a que os lados do triângulo façam 90º com o eixo oposto;
  3. Dividir ao meio o lado do triângulo perpendicular ao eixo z, com a ponta seca do compasso nesse ponto até uma das extremidades do triângulo e desenhar um semicírculo;
  4. Onde o semicírculo intersetar o eixo z marcar o ponto Or e a partir daí até cada uma das extremidades do lado do triângulo perpendicular ao eixo z desenhar os eixos xr e yr que entre si fazem 90º.
  5. Depois de prolongar o eixo z para baixo, desenhar a partir de um ponto desse eixo paralelas aos eixos xr e yr;
  6. No espaço entre os dois eixos rebatidos desenhar a projeção horizontal do sólido pedido através da abcissa e do afastamento em verdadeira grandeza.
  7. Repetir a operação para o plano frontal ou de perfil de projeção.
  8. Unir todos os pontos da figura geométrica correspondente às projeções horizontal, frontal ou de perfil, de modo a obter o sólido em perspetiva. A perspetiva deve ser a traço forte, enquanto os eixos são a traço médio e as linhas auxiliares a traço fino.

AXONOMETRIAS OBLÍQUAS (CAVALEIRA E MILITAR)

CAVALEIRA

  1. Na axonometria cavaleira o eixo Z faz 90º com o eixo X ou Y.
  2. Desenhar os eixos x, y e z conforme pedido no enunciado;
  3. Os eixos que fazem entre si 90º são aqueles que estão em verdadeira grandeza, logo não sofrem qualquer deformação, isto é, qualquer ponto, reta ou figura geométrica desenhada nesse plano mantém-se com as coordenadas dadas no enunciado.
  4. Será o eixo oblíquo em relação aos outros dois que sofre uma deformação, assim teremos que rebater a 90º esse eixo e marcar as abcissas se for o eixo X ou os afastamentos se for o eixo Y.
  5. Prolongar o eixo Z, de modo a com a ponta seca do compasso na origem dos eixos, rodar os afastamentos ou abcissas em VG para o prolongamento do eixo Z.
  6. Entre o prolongamento do eixo Z (agora Xr ou Yr) e o outro eixo (Y ou X) desenhar a VG da figura geométrica, base ou face de um sólido dado no enunciado.
  7. A partir da figura em perspetiva desenhar a altura das bases ou vértice do sólido diretamente, visto que o eixo Z não sofre nenhuma deformação.

MILITAR

  1. Na axonometria militar o eixo X faz 90º com o eixo Y.
  2. Desenhar os eixos x, y e z conforme pedido no enunciado;
  3. Os eixos que fazem entre si 90º são aqueles que estão em verdadeira grandeza, logo não sofrem qualquer deformação, isto é, qualquer ponto, reta ou figura geométrica desenhada nesse plano mantém-se com as coordenadas dadas no enunciado.
  4. Será o eixo oblíquo em relação aos outros dois que sofre uma deformação, assim teremos que rebater a 90º o eixo Z e marcar as cotas dadas no enunciado.
  5. Prolongar os eixos x ou y , de modo a com a ponta seca do compasso na origem dos eixos, rodar as cotas em VG para o prolongamento do eixo escolhido.
  6. Entre o prolongamento do eixo X ou Y (agora Zr) e o outro eixo (X ou Y) desenhar a VG da figura geométrica, base ou face de um sólido dado no enunciado.
  7. A partir da figura em perspetiva desenhar a altura das bases ou vértice do sólido diretamente, visto que os eixos X e Y não sofrem nenhuma deformação.

14º CAPÍTULO

CONSTRUÇÃO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Pentágono

Método 1

  1. Colocar o zero do aristo em B e marcar 72º para a esquerda e direita;
  2. Unir esses pontos a B e onde as linhas se cruzarem com a circunferência encontram-se dois vértices do pentágono;
  3. Com ponta seca do compasso num desses pontos marcar no lado contrário da circunferência e fazer o mesmo com o outro ponto.

Método 2

  1. Marcar a partir do centro linhas a 72º x 5. A intersecção dessas linhas com a circunferência serão os vértices do pentágono.

Método 3

  1. Desenhar uma circunferência;
  2. Dividir a circunferência em quatro partes;
  3. Com a mesma medida do raio da circunferência, dividir o raio em dois a partir do
  4. ponto C, obtendo E;
  5. Com centro em E até B marcar F;
  6. Com centro em B até F obtém-se a medida do lado do pentágono;
  7. A partir de um dos vértices marcar as medidas do lado do pentágono na
  8. circunferência de forma simétrica, para que no pentágono o lado perpendicular ao
  9. eixo BD faça mesmo 90º;
  10. A posição do pentágono varia consoante o exercício.

FIM

Bibliografia

SANTA-RITA, José Fernando – Geometria Descritiva A 10º e 11º anos. Texto Editora (Leya), Lisboa, 2018.

MÜLLER, Maria João – Geometria Descritiva A 10º e 11º anos. Porto Editora, Porto, 2018.

RICCA, Guilherme – Geometria Descritiva – Método de Monge. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 2011.

SANTA-RITA, José Fernando – Geometria Descritiva A 11º e 12º anos. Texto Editora, Lisboa, 2006.

COSTA, João – Geometria Descritiva B 11º ano. Areal Editores, Perafita, 2005.

GONÇALVES, Luís – Desenho e Geometria Descritiva A / B – Porto Editora, Porto, 1999.

SANTA-RITA, José Fernando – Geometria Descritiva A 10º ano. Texto Editora, Lisboa, 1999

GONÇALVES, Luís – Geometria Descritiva – Livro de exercícios 12º ano. Empresa Literária Fluminense, Lda., 1984.

Catarina Sande e Castro

catarinascastro@netcabo.pt

914 388 382

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